Dos "Secretos" Matemáticos Y Una Paradoja

Uno de mis pasatiempos favoritos es "jugar con números", o aquello que muchos denominan "las matemáticas".
Intentaré darles algunos secretos matemáticos para que puedan resolver rápidamente ciertos cálculos matemáticos.

El primero: Un número que termina en 5 al cuadrado. El truco es siempre poner 25 al final y luego, el número de adelante aumentarlo en 1 y multiplicarlo por el número. El resultado adjuntarlo adelante. Ejemplos: 35 al cuadrado --> 25 al final y multiplicar el 3 por 4, osea, 12. Resultado final: 1225. 125 al cuadrado --> 25 al final y multiplicar el 12 por 13, osea 156. Resultado final: 15,625.
Para aquellos "locos matemáticos", acá les va la explicación:
Pongamos un número a5, donde a se multiplica por 10, para formar el número. Al elevar dicho número al cuadrado, tendremos:
a5 x a5 = (10a + 5) x (10a + 5) = 100a2 + 50a + 50a + 25 = 100a2 + 100a + 25, resultado que luego de factorizar se tiene: 100a (a + 1) + 25
Ojo que el 25 queda al final y al multiplicar, se multiplica a x (a + 1) y luego por 100.

El segundo: Cómo convertir de decimales a fracciones. Este tema me preguntan algunas personas, de vez en cuando y de cuando en vez. Ojo que tendremos que distinguir entre decimales con partes periódicas (que se repiten) y decimales sin partes periódicas. En este punto no veremos números que son irracionales (como el famoso pi o algunos otros). Tampoco convertiremos fracciones impropias, por lo cual, si es una fracción impropia (denominador menor que el numerador), se tendrá que convertir a un número entero y una fracción propia (denominador mayor que el numerador).
Primera parte: Decimales sin partes periódicas. Ejemplo: 0.75 --> Se toma la parte luego del punto decimal, osea 75 para el numerador y para el denominador se usa un 1 seguido de tantos ceros como números se tienen luego del punto decimal, en este caso 2. La fracción sería 75/100. En ambas partes se puede dividir entre 25, con lo cual se obtiene la fracción reducida al máximo de 3/4.
Segunda parte: Decimales con partes periódicas. Ejemplo: 0.3333333... (se repite el 3) --> Se toma la parte que se repite, sólo una vez, en este caso el 3 como numerador y en el denominador se usan tantos nueves como números se repiten, en este caso sólo 1, osea la fracción sería 3/9, la cual, reduciéndola se obtiene 1/3. Otro ejemplo: 0.135135135135... (se repite el 135) --> En este caso se repite el 135, el cual será el numerador y el denominador serán 3 nueves, con lo cual se tiene 135/999, la cual al simplificar llega a ser 5/37.
Tercera parte: Decimales donde hay partes que se repiten y partes que no se repiten. Ejemplo: 0.16666666... (no se repite el 1 y se repite el 6) --> Mezclando las dos reglas, pero una nueva regla más: Usar el número que no se repite y el número que sí se repite, en este caso 16; restarle el número que no se repite, en este caso 1, se obtiene 15 como numerador. En el denominador, usar tantos nueves como números se repiten y tantos ceros como números no se repiten, en este caso, el denominador será 90. La fracción: 15/90, la cual al simplificarla, se obtiene 1/6.
Unos ejemplos más:
0.01375757575757575... --> 1375 - 13 = 1362 (numerador); 99,000 (denominador), simplificando se obtiene la fracción de 227/16,500
3.471687687687687... --> 3 + 0.471687687687687... --> 471,687 - 471 = 471,216 (numerador); 999,000 (denominador), simplificar y obtener el resultado.

Empero, una paradoja matemática:
Usando el método antes descrito, demostraré que 0.9999999... es igual a 1.
La fracción sería: 9/9, la cual simplificando, sería igual a 1, ¿curioso, no creen?

Saludos,

F. Bobbio C.